Физический энциклопедический словарь - квантование поля.

В квант. теории состояние системы ч-ц описывается волн. ф-цией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N ч-цами вектор состояния N. Квадрат его модуля |N|², определяющий вероятность данного состояния, равен единице, т. к. N достоверно известно. Введём операторы уничтожения и рождения ч-цы: а^- и а⁺. По определению, а~ переводит состояние с N ч-цами в состояние с N-1 ч-цами:

Аналогично оператор рождения ч-цы а* переводит состояние с N ч-цами в состояние с N+1 ч-цами:

(множители N и (N+1) вводят для выполнения условия нормировки |N|²=1). В частности, при N=0 а⁺0=1, где 0 — вектор, характеризующий вакуумное состояние, т. е. состояние с нулевым числом ч-ц и мин. энергией. Т. о., одночастичное состояние получается в результате рождения из вакуума одной ч-цы, Поскольку невозможно уничтожить ч-цу в состоянии, в к-ром ч-ц нет, то a^-0=0. Это равенство можно считать определением вакуума. Особое значение вакуумного вектора состояния состоит в том, что из него действием оператора а⁺ можно получить вектор любого состояния:

Порядок действия а^- и а⁺ не безразличен. Так,

т. е. операторы а^-, а⁺ явл. непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в разл. порядке, наз. коммутационными или перестановочными соотношениями. Если учесть, что ч-цы могут находиться в разл. состояниях, то следует дополнительно указывать, к какому состоянию относятся операторы рождения и уничтожения (т. е. квант. числа состояния — энергию, спин и др.). Для простоты обозначим всю совокупность квант. чисел, определяющих состояние, индексом га; тогда а⁺т(а^-т) обозначает оператор рождения (уничтожения) ч-цы в состоянии с набором квант. чисел n. Числа ч-ц, находящихся в состояниях, соответствующих разл. n, наз. числами заполнения этих состояний, а задание вектора состояния в форме, фиксирующей числа заполнения всех возможных состояний системы,— представлением чисел заполнения.

Если nm, то a^-na⁺m0=0, поскольку невозможно уничтожение ч-ц в таких состояниях, к-рых нет в системе. С учётом этого перестановочные соотношения имеют вид:

264

где nm — символ Кронекера: nm=1 при n=m и nm=0 при nm.

Из а⁺n и a^-n можно построить играющий важную роль оператор числа ч-ц: N